Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Eine Menge ${}G$ mit einem ausgezeichneten Element ${}e\in G$ und mit einer Verknüpfung

   $G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

   heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

   1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle ${}f,g,h\in G$ gilt

      $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

   2. Das Element ${}e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle ${}g\in G$ gilt

      $g\circ e=g=e\circ g.$

   3. Zu jedem ${}g\in G$ gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein ${}h\in G$ mit

      $h\circ g=g\circ h=e.$

2. Man sagt, dass die natürliche Zahl ${}a$ die natürliche Zahl ${}b$ teilt, wenn es eine natürliche Zahl ${}c$ derart gibt, dass  ${}b=c\cdot a$  ist.
3. Ein beschränkter Verband ${}M$ heißt komplementär, wenn es zu jedem  ${}x\in M$  ein  ${}y\in M$  mit  ${}x\sqcap y=0$  und  ${}x\sqcup y=1$  gibt.
4. Ein Sterngraph ist ein Graph mit einem Knoten, der mit allen anderen Knoten verbunden ist und dies die einzigen Kanten des Graphen sind.
5. Ein Punkt  ${}v\in V$  eines Graphen mit Grad ${}1$ heißt Blatt.
6. Die Adjazenzmatrix ist diejenige ${}V\times V$-Matrix, deren Einträge durch

   ${}a_{u,v}={\begin{cases}1,\,{\text{falls }}\{u,v\}\in E,\\0\,{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

   gegeben sind.

Zur gelösten Aufgabe