Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Wenn ${}M$ eine Menge ist und wenn

   $\varphi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow M$

   und

   $\psi \colon \{1,\ldots ,k\}\longrightarrow M$

   bijektive Abbildungen sind, so ist

   ${}n=k\,.$

2. Es sei ${}R$ ein kommutativer Halbring und es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus ${}R$. Dann gilt das allgemeine Distributivgesetz

   ${}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}\,.$

3. Es sei ${}G$ ein Multigraph und sei ${}L$ die Laplace-Matrix zu ${}G$. Es sei ${}L'$ die Streichungsmatrix von ${}L$ bezüglich eines Knotenpunktes. Dann ist die Anzahl der Spannbäume von ${}G$ gleich der Determinante von ${}L'$.

Zur gelösten Aufgabe