Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Zu je zwei Gruppenelementen $a,b\in G$ besitzen die beiden Gleichungen

   $a\circ x=b\text{ und }y\circ a=b$

   eindeutige Lösungen $x,y\in G$.
2. Es seien  $0<m_1<m_2<\dots <m_k$  natürliche Zahlen. Dann ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine natürliche Zahl $n$ als Summe

   $n=c_1{m}_1+c_2{m}_2+\cdots +c_k{m}_k$

   mit  $c_i\in \mathbb{N}$  darzustellen, gleich dem $n$-ten Koeffizienten der Potenzreihe (bzw. der erzeugenden Funktion)

   $\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{m_{1}j}\right)\left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{m_{2}j}\right)\cdots \left(\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{m_{k}j}\right)=\frac{1}{1-z^{m_1}}\cdot \frac{1}{1-z^{m_2}}\cdots \frac{1}{1-z^{m_k}}.$

3. Zu einem Graphen  $G=(V,E)$  ist die Waldmenge $𝒲(G)$ (mit der vollen Knotenmenge) ein Matroid auf $E$. Der Rang dieses Matroids ist die Anzahl der Kanten in einem aufspannenden Wald.

Zur gelösten Aufgabe