Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe/Lösung

1. Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe,  $H\subseteq G$  eine Untergruppe und ${\sim }_H$ die durch $H$ auf $G$ definierte Relation. Dann liegt eine Äquivalenzrelation vor, und die Äquivalenzklasse zu $0$ ist gerade $H$.
2. Es seien $f_1:L_1\to M_1$ und $f_2:L_2\to M_2$ Abbildungen zwischen endlichen Mengen. Dann sind $f_1$ und $f_2$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Faseranzahltupel übereinstimmen.
3. Es sei $M$ eine Menge, es sei $I$ eine endliche Indexmenge und zu jedem  $i\in I$  sei eine Teilmenge  $M_i\subseteq M$  gegeben. Zu einer Teilmenge  $J\subseteq I$  setzen wir

   $M_J=\bigcup _{j\in J}{M}_j.$

   Für jede Teilmenge  $J\subseteq I$  gelte

   $\mathrm{\#}\left(M_J\right)\ge \mathrm{\#}\left(J\right).$

   Dann gibt es eine injektive Abbildung

   $f:I⟶M$

   mit

    $f(i)\in M_i$. 

Zur gelösten Aufgabe