Es sei eine
Cauchy-Folge
in . Zu
gibt es ein mit
-
für alle
.
Da es bei der diskreten Metrik nur die beiden Abstände
und
möglich sind, muss
-
und damit
-
für alle
sein. Dies bedeutet, dass die Folge ab einem bestimmten Index
konstant ist, und dass die Folge gegen das Folgenglied
konvergiert.