Es sei
eine
Cauchy-Folge
in
. Zu
gibt es ein
mit
-
![{\displaystyle {}d(x_{n},x_{m})\leq {\frac {1}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb600358404ed90d6bf618b178cd3b41a6e36f4b)
für alle
.
Da es bei der diskreten Metrik nur die beiden Abstände
und
möglich sind, muss
-
![{\displaystyle {}d(x_{n},x_{m})=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6cb543b422ee3c5692130f36e7cfb9c439a3355)
und damit
-
![{\displaystyle {}x_{n}=x_{m}=x_{n_{0}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f975dd702cca523bf28e0cfc62cc3bf895bd15)
für alle
sein. Dies bedeutet, dass die Folge ab einem bestimmten Index
![{\displaystyle {}n_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85517154742ca095ee477a731270115c668ccb61)
konstant ist, und dass die Folge gegen das Folgenglied
![{\displaystyle {}x_{n_{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40dd203c4f9e6e1b686ea729a27bd4fe1f0c0bf2)
konvergiert.