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Diskrete Metrik/Vollständiger Raum/Aufgabe/Lösung

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Es sei eine Cauchy-Folge in . Zu gibt es ein mit

für alle . Da es bei der diskreten Metrik nur die beiden Abstände und möglich sind, muss

und damit

für alle

sein. Dies bedeutet, dass die Folge ab einem bestimmten Index konstant ist, und dass die Folge gegen das Folgenglied konvergiert.