Es sei
eine
Cauchy-Folge
in
. Zu
gibt es ein
mit
-

für alle
.
Da es bei der diskreten Metrik nur die beiden Abstände
und
möglich sind, muss
-

und damit
-

für alle
sein. Dies bedeutet, dass die Folge ab einem bestimmten Index

konstant ist, und dass die Folge gegen das Folgenglied

konvergiert.