Diskrete Punkte/Auswahl/Geraden/Aufgabe/Lösung

1. In ${}\{0,1,2,3,4,5\}\times \{0,1,2,3,4,5\}$ gibt es ${}36$ Punkte, damit gibt es ${}{\binom {36}{2}}={\frac {36\cdot 35}{2}}=18\cdot 35=630$ mögliche Auswahlen für ein Punktepaar. Auf der Diagonalen liegen ${}6$ Punkte, daher gibt es auf der Diagonalen ${}{\binom {6}{2}}={\frac {6\cdot 5}{2}}=15$ Punktepaare. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch die Auswahl die Diagonale bestimmt wird, gleich

   ${}{\frac {15}{630}}={\frac {1}{42}}\,.$

2. Auf den Geraden, die parallel zur Diagonalen sind, gibt es, mit zunehmendem Absand von der Diagonalen selbst, der Reihe nach ${}5,4,3,2,1$ Punkte, und zwar in beide Richtungen. Deshalb führen

   ${}{\binom {6}{2}}+2{\binom {5}{2}}+2{\binom {4}{2}}+2{\binom {3}{2}}+2{\binom {2}{2}}=15+2\cdot 10+2\cdot 6+2\cdot 3+2\cdot 1=55\,$

   Punktepaare zu einer Geraden, die parallel zur Diagonalen ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist also

   ${}{\frac {55}{630}}={\frac {11}{126}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe