Diskreter Bewertungsring/Endlicher Restekörper/Ordnung/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring, dessen Restekörper  ${}K=R/{\mathfrak {m}}={\mathbb {F} }_{q}$  endlich mit ${}q$ Elementen sei. Zeige, dass ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ ein endlicher Ring mit ${}q^{n}$ Elementen ist. Man folgere, dass zu  ${}f\in R$  die Gleichheit

${}{\#\left(R/(f)\right)}=q^{\operatorname {ord} \,(f)}\,$

gilt, und dass man die Ordnung von ${}f$ aus der Größe des Restklassenringes berechnen kann.

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