Es sei π {\displaystyle {}\pi } ein Erzeuger des maximalen Ideals von R {\displaystyle {}R} . Es seien a , b ∈ R {\displaystyle {}a,b\in R} mit b ≠ 0 {\displaystyle {}b\neq 0} . Wir müssen zeigen, dass es eine Darstellung
mit r = 0 {\displaystyle {}r=0} oder ord ( r ) < ord ( b ) {\displaystyle {}\operatorname {ord} \,(r)<\operatorname {ord} \,(b)} ist. Wenn a = 0 {\displaystyle {}a=0} ist, sind wir mit q , r = 0 {\displaystyle {}q,r=0} fertig. Es sei also a ≠ 0 {\displaystyle {}a\neq 0} . Wir schreiben a = u π s {\displaystyle {}a=u\pi ^{s}} und b = v π t {\displaystyle {}b=v\pi ^{t}} mit Einheiten u , v {\displaystyle {}u,v} und mit s , t ∈ N . {\displaystyle {}s,t\in \mathbb {N} .} Bei
ist
Bei
und es ist
ein Erzeuger des maximalen Ideals von 
. Es seien 
mit
.
Wir müssen zeigen, dass es eine Darstellung
oder
ist. Wenn
ist, sind wir mit
fertig. Es sei also
.
Wir schreiben
und
mit Einheiten 
und mit 
Bei
