Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt

Sei ${}R$ ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$.

Dann hat die Ordnung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} (f),$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {ord} (fg)=\operatorname {ord} (f)+\operatorname {ord} (g)$.
2. ${}\operatorname {ord} (f+g)\geq \min\{\operatorname {ord} (f),\operatorname {ord} (g)\}$.
3. ${}f\in {\mathfrak {m}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} (f)\geq 1$.
4. ${}f\in R^{\times }$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} (f)=0$.

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