Diskreter Bewertungsring/Syzygienmodul/Beispiel

Es sei ${}V$ ein diskreter Bewertungsring mit Ortsuniformisierender ${}t$. Wir betrachten die Abbildung

$V^{n}\longrightarrow V$

mit ${}e_{i}\mapsto u_{i}t^{a_{i}}$ mit Einheiten ${}u_{i}$ und Exponenten  ${}0\leq a_{1}\leq \ldots \leq a_{n}$.  Das Bild ist das Ideal ${}(t^{a_{1}})$. Der Kern wird erzeugt durch die Tupel

$\left(u_{2}t^{a_{2}-a_{1}},\,-u_{1},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\left(u_{3}t^{a_{3}-a_{1}},\,0,\,-u_{1},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\ldots .$

Die Tupel

$\left(u_{2}t^{a_{2}},\,-u_{1}t^{a_{1}},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\left(u_{3}t^{a_{3}},\,0,\,-u_{1}t^{a_{1}},\,0,\,\ldots ,\,0\right),\ldots$

sind etwas natürlicher, aber nur außerhalb des Nullpunktes eine Basis. Wenn die Situation von einer höherdimensionalen Situation herrührt, so ergibt der Isomorphismus mit der Strukturgarbe gerade keinen Isomorphismus (der Rückzug des Syzygienmoduls ist nicht der Syzygienmodul).

Es sei ${}\operatorname {Syz} \left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)$ das Syzygienbündel auf ${}R$ zu einem ${}{\mathfrak {m}}$-primären Ideal ${}I$ und sei

$\theta \colon R\longrightarrow V$

ein Ringhomomorphismus. Es liegt also eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {Syz} \left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R^{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,I\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Durch Rückzug erhält man die exakte Sequenz

$\theta ^{*}(\operatorname {Syz} \left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right))\longrightarrow V^{n}\longrightarrow \theta ^{*}I\longrightarrow 0.$

Einerseits hat man hier nur eine Surjektion ${}\theta ^{*}I\rightarrow IV$.

Dann ist

$\theta ^{*}(\operatorname {Syz} \left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right))\longrightarrow \operatorname {Syz} \left(\theta ^{*}(f_{1}),\ldots ,\theta ^{*}(f_{n})\right)$

weder surjektiv noch injektiv. Wenn eine Situation wie eingangs beschrieben entsteht, so sind beide Moduln frei. Entscheidend für Fortsetzungseigenschaften ist der linke.

Bei ${}\operatorname {Syz} \left(X^{a},Y^{b}\right)$ (${}a\leq b$) auf  ${}R=K[X,Y]$  liegt ein Isomorphismus

$R\longrightarrow \operatorname {Syz} \left(X^{a},Y^{b}\right),\,1\longmapsto (Y^{b},-Y^{a}),$

vor. Unter ${}X,Y\mapsto t$ wird der Isomorphismus zu

${}V\cong \theta ^{*}\operatorname {Syz} \left(X^{a},Y^{b}\right)\,$

und mit dem Isomorphismus

$V\longrightarrow \operatorname {Syz} \left(t^{a},t^{b}\right),\,1\longmapsto (t^{b-a},-1),$

ist die obige Abbildung gleich

$V\longrightarrow V,\,1\longmapsto t^{a}.$