Distributivgesetz/Mehrfaches Produkt/Aufgabe

Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring ${}R$ durch Induktion über ${}k$, wobei der Fall ${}k=2$ verwendet werden darf (dabei sind ${}n_{1},\ldots ,n_{k}$ natürliche Zahlen und ${}a_{j,i}\in R$).

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i_{1}=1}^{n_{1}}a_{1,i_{1}}\right)}\cdot {\left(\sum _{i_{2}=1}^{n_{2}}a_{2,i_{2}}\right)}\cdots {\left(\sum _{i_{k}=1}^{n_{k}}a_{k,i_{k}}\right)}&=\sum _{(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})\in \{1,\ldots ,n_{1}\}\times \{1,\ldots ,n_{2}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,n_{k}\}}a_{1,i_{1}}\cdot a_{2,i_{2}}\cdots a_{k,i_{k}}\\\end{aligned}}$

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