Distributivgesetz/Mehrfaches Produkt/Aufgabe

Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring $R$ durch Induktion über $k$ , wobei der Fall $k = 2$ verwendet werden darf (dabei sind $n_{1}, \dots, n_{k}$ natürliche Zahlen und $a_{j, i} \in R$ ).

\begin{matrix} (\sum_{i_{1} = 1}^{n_{1}} a_{1, i_{1}}) \cdot (\sum_{i_{2} = 1}^{n_{2}} a_{2, i_{2}}) \dots (\sum_{i_{k} = 1}^{n_{k}} a_{k, i_{k}}) & = \sum_{(i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}) \in {1, \dots, n_{1}} \times {1, \dots, n_{2}} \times \dots \times {1, \dots, n_{k}}} a_{1, i_{1}} \cdot a_{2, i_{2}} \dots a_{k, i_{k}} . \end{matrix}

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