Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Bei ${}n\geq 0$ liegt das Ergebnis unmittelbar aufgrund der Division mit Rest für natürliche Zahlen vor. Es sei also ${}n<0$. Dann ist ${}-n\in \mathbb {N}$ und die Division mit Rest für natürliche Zahlen ergibt

${}-n=pd+s\,$

mit ${}p\in \mathbb {N}$ und ${}s$ zwischen ${}0$ und ${}d-1$. Negation dieser Gleichung liefert

${}n=(-p)d-s\,.$

Bei ${}s=0$ liegt unmittelbar das gewünschte Ergebnis vor. Es sei also ${}s>0$. Dann ist

${}n=(-p)d-s=(-p)d-d+(d-s)=(-p-1)d+(d-s)\,$

und

${}r=d-s\,$

liegt zwischen ${}0$ und ${}d-1$.

Zur gelösten Aufgabe