Division mit Rest/Z/Potenz/Periodizität/Aufgabe

Es seien $a,d\in \mathbb{N}$, $d\ge 1$. Zeige, dass bei Division mit Rest durch $d$ aller Potenzen von $a$ (also $a^0,a^1,a^2,\dots$) schließlich eine Periodizität eintreten muss. Es gibt also  $i<j$  derart, dass sich die Reste von $a^i,a^{i+1},a^{i+2},\dots ,a^{j-2},a^{j-1}$ bei den folgenden Potenzen periodisch (oder „zyklisch“) wiederholen (insbesondere besitzen also $a^i$ und $a^j$ den gleichen Rest). Zeige ebenfalls, dass diese Periodizität nicht bei  $a^0=1$  anfangen muss.

Eine Lösung erstellen