Dolbeault/C/Differenzierbare Funktion/Kompakter Träger/Fakt/Beweis

Beweis

Die Funktion ${}f$ wird explizit konstruiert über ein Integral.

${}f(w)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int \int _{{\mathbb {C} }\setminus \{w\}}{\frac {g(z)}{z-w}}dz\wedge d\,{\overline {z}}\,.$

Wegen

${}dz\wedge d\,{\overline {z}}=d(x+{\mathrm {i} }y)\wedge d(x-{\mathrm {i} }y)=-2{\mathrm {i} }dx\wedge dy\,$

liegt das Integral zum ${}-2{\mathrm {i} }$-fachen des Lebesgue-Maßes vor (man kann ${}f$ auch direkt so ansetzen). Mit in ${}w$ zentrierten Polarkoordinaten ist das Integral (vergleiche Fakt) gleich

${}f(w)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\frac {g{\left(w+re^{{\mathrm {i} }\theta }\right)}}{re^{{\mathrm {i} }\theta }}}\cdot r\,dr\,dt=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }{\frac {g{\left(w+re^{{\mathrm {i} }\theta }\right)}}{e^{{\mathrm {i} }\theta }}}\,dr\,dt\,,$

wobei die untere Integrationsgrenze für ${}r$ nicht dazugehört.

Zur bewiesenen Aussage