Aufgrund der Translationsinvarianz des Flächeninhalts können wir der Punkt
in den Nullpunkt verschieben, die Koordinaten der beiden anderen Punkte sind
bzw.
. Dieses Dreieck ist das Bild des durch den Nullpunkt und die beiden Standardvektoren
und
gegebenen Dreiecks unter der durch die Matrix
-
gegebenen linearen Abbildung. Das Standardreieck hat den Flächeninhalt
. Daher ist der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks nach
Fakt
gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\vert {\det {\begin{pmatrix}a_{2}-a_{1}&a_{3}-a_{1}\\b_{2}-b_{1}&b_{3}-b_{1}\end{pmatrix}}}\vert {\frac {1}{2}}&={\frac {1}{2}}\vert {(a_{2}-a_{1})(b_{3}-b_{1})-(a_{3}-a_{1})(b_{2}-b_{1})}\vert \\&={\frac {1}{2}}\vert {a_{2}b_{3}-a_{2}b_{1}-a_{1}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{1}b_{2}+a_{3}b_{1}}\vert \\&={\frac {1}{2}}\vert {a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}}\vert .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c4877f65ceb738df60a215293e773f14cefcd5)