Dreieck/Flächeninhalt aus Längen/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass der Höhenfußpunkt zur Höhe durch ${}C$ zwischen ${}A$ und ${}B$ liegt. Es sei ${}h$ die Länge dieser Höhe und ${}D$ der Höhenfußpunkt. Es sei ${}p$ die Länge von ${}A$ nach ${}D$ und ${}q$ die Länge von ${}B$ nach ${}D$. Nach dem Satz des Pythagoras ist

${}h^{2}+p^{2}=a^{2}\,$

und

${}h^{2}+(c-p)^{2}=b^{2}\,,$

woraus sich

${}a^{2}-p^{2}=b^{2}-(c-p)^{2}=b^{2}-c^{2}+2cp-p^{2}\,,$

also

${}a^{2}-b^{2}=-c^{2}+2cp\,$

und

${}p={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c}}\,$

ergibt. Somit ist

${}{\begin{aligned}h^{2}&=a^{2}-p^{2}\\&=a^{2}-{\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c}}\right)}^{2}\\&={\frac {4a^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{4c^{2}}}\\&={\frac {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}{4c^{2}}}\end{aligned}}$

und daher

${}h={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{2c}}\,$

und letztlich

${}F={\frac {1}{2}}ch={\frac {\sqrt {2a^{2}c^{2}+2c^{2}b^{2}+2a^{2}b^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe