Dreieck/Flächeninhalt aus Längen/Aufgabe/Lösung

Wir nehmen an, dass der Höhenfußpunkt zur Höhe durch $C$ zwischen $A$ und $B$ liegt. Es sei $h$ die Länge dieser Höhe und $D$ der Höhenfußpunkt. Es sei $p$ die Länge von $A$ nach $D$ und $q$ die Länge von $B$ nach $D$. Nach dem Satz des Pythagoras ist

$h^2+p^2=a^2$

und

$h^2+(c-p{)}^2=b^2,$

woraus sich

$a^2-p^2=b^2-(c-p{)}^2=b^2-c^2+2cp-p^2,$

also

$a^2-b^2=-c^2+2cp$

und

$p=\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}$

ergibt. Somit ist

$\begin{array}{cc}{h}^2& =a^2-p^2\\ & =a^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2c}\right)}^2\\ & =\frac{4a^2{c}^2-2a^2{c}^2+2c^2{b}^2+2a^2{b}^2-a^4-b^4-c^4}{4c^2}\\ & =\frac{2a^2{c}^2+2c^2{b}^2+2a^2{b}^2-a^4-b^4-c^4}{4c^2}\end{array}$

und daher

$h=\frac{\sqrt{2a^2{c}^2+2c^2{b}^2+2a^2{b}^2-a^4-b^4-c^4}}{2c}$

und letztlich

$F=\frac{1}{2}ch=\frac{\sqrt{2a^2{c}^2+2c^2{b}^2+2a^2{b}^2-a^4-b^4-c^4}}{4}.$

Zur gelösten Aufgabe