Dreieck/Grundseite und Höhe/Minimaler Umfang/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}(x,h)$ der (neben ${}(0,0)$ und ${}(s,0)$) dritte Eckpunkt des Dreieckes ist, so ist der Umfang gleich

$s+{\sqrt {x^{2}+h^{2}}}+{\sqrt {(x-s)^{2}+h^{2}}}.$

Wir müssen also die Funktion

${}f(x)={\sqrt {x^{2}+h^{2}}}+{\sqrt {(x-s)^{2}+h^{2}}}\,$

minimieren. Da ${}h$ positiv ist, ist diese Funktion differenzierbar, und zwar ist

${}f'(x)={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+h^{2}}}}+{\frac {x-s}{\sqrt {(x-s)^{2}+h^{2}}}}\,.$

Die Bedingung ${}f'(x)=0$ führt auf

${}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+h^{2}}}}={\frac {s-x}{\sqrt {(x-s)^{2}+h^{2}}}}\,$

bzw. auf

${}x{\sqrt {(x-s)^{2}+h^{2}}}=(s-x){\sqrt {x^{2}+h^{2}}}\,.$

Quadrieren führt auf

${}x^{2}((x-s)^{2}+h^{2})=(s-x)^{2}(x^{2}+h^{2})\,$

und dies auf

${}x^{2}h^{2}=(s-x)^{2}h^{2}\,$

und somit ist

${}x^{2}=(s-x)^{2}\,$

und daher (der Fall ${}x=x-s$ ist ausgeschlossen)

${}x=s-x\,$

und somit

${}x={\frac {s}{2}}\,.$

Dies muss ein Minimum sein, da für ${}x\rightarrow \pm \infty$ der Umfang gegen ${}+\infty$ strebt. Der minimale Umfang ist daher

${}s+2{\sqrt {{\frac {s^{2}}{4}}+h^{2}}}=s+{\sqrt {s^{2}+4h^{2}}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe