Dreieck/Grundseite und Höhe/Minimaler Umfang/Aufgabe/Lösung

Wenn $(x, h)$ der (neben $(0, 0)$ und $(s, 0)$ ) dritte Eckpunkt des Dreieckes ist, so ist der Umfang gleich

s + \sqrt{x^{2} + h^{2}} + \sqrt{(x - s)^{2} + h^{2}} .

Wir müssen also die Funktion

f (x) = \sqrt{x^{2} + h^{2}} + \sqrt{(x - s)^{2} + h^{2}}

minimieren. Da $h$ positiv ist, ist diese Funktion differenzierbar, und zwar ist

f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + h^{2}}} + \frac{x - s}{\sqrt{(x - s)^{2} + h^{2}}} .

Die Bedingung $f^{'} (x) = 0$ führt auf

\frac{x}{\sqrt{x^{2} + h^{2}}} = \frac{s - x}{\sqrt{(x - s)^{2} + h^{2}}}

bzw. auf

x \sqrt{(x - s)^{2} + h^{2}} = (s - x) \sqrt{x^{2} + h^{2}} .

Quadrieren führt auf

x^{2} ((x - s)^{2} + h^{2}) = (s - x)^{2} (x^{2} + h^{2})

und dies auf

x^{2} h^{2} = (s - x)^{2} h^{2}

und somit ist

x^{2} = (s - x)^{2}

und daher (der Fall $x = x - s$ ist ausgeschlossen)

x = s - x

und somit

x = \frac{s}{2} .

Dies muss ein Minimum sein, da für $x \to \pm \infty$ der Umfang gegen $+ \infty$ strebt. Der minimale Umfang ist daher

s + 2 \sqrt{\frac{s^{2}}{4} + h^{2}} = s + \sqrt{s^{2} + 4 h^{2}} .