Dreieck/Seitenhalbierende/Schnittpunkt/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Bedingung

{}{\frac {B+C}{2}}+s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}={\frac {A+C}{2}}+t{\left(B-{\frac {A+C}{2}}\right)}\,,

die auf

{}{\begin{aligned}{\frac {B-A}{2}}&=t{\left(B-{\frac {A+C}{2}}\right)}-s{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}\\&={\left(-s-{\frac {t}{2}}\right)}A+{\left(t+{\frac {s}{2}}\right)}B+{\frac {s-t}{2}}C\end{aligned}}

führt. Wir können ${}E=\mathbb {R} ^{2}$ und ${}A=0$ setzen, woraus sich, da ${}B$ und ${}C$ linear unabhängig sind,

{}s=t\,

ergibt. Daher ist

{}{\frac {B-A}{2}}={\left(-{\frac {3}{2}}s\right)}A+{\left({\frac {3}{2}}s\right)}B\,,

woraus

{}s={\frac {1}{3}}\,

folgt. Somit ist der Schnittpunkt gleich

{}{\frac {B+C}{2}}+{\frac {1}{3}}{\left(A-{\frac {B+C}{2}}\right)}={\frac {1}{3}}A+{\frac {1}{3}}B+{\frac {1}{3}}C\,.

Wegen der Symmetrie ist dies auch der Schnittpunkt mit der dritten Seitenhalbierenden.