Dreiecke/Nicht entartet/Offen/Umfang 1/Mannigfaltigkeit/Aufgabe

Wir betrachten den ${}\mathbb {R} ^{6}={\left(\mathbb {R} ^{2}\right)}^{3}$ als Menge aller (auch entarteter) Dreiecke, indem wir ein Dreieck mit den (geordneten) Eckpunkten ${}P_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}$, ${}P_{2}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$ und ${}P_{3}={\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}$, mit dem Koordinatentupel

$(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2},x_{3},y_{3})$

identifizieren.

1. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{6}$ ist (das Komplement davon ist somit eine offene Menge in ${}\mathbb {R} ^{6}$, die wir ${}U$ nennen).
2. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen alle drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, eine abgeschlossene Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{6}$ ist (das Komplement davon, das aus allen nichtentarteten Dreiecken besteht, ist somit eine offene Menge in ${}\mathbb {R} ^{6}$, die wir ${}V$ nennen).
3. Erstelle eine Funktionsvorschrift, die die Abbildung

   $F\colon \mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R}$

   beschreibt, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet.

4. Zeige, dass die Funktion ${}F$ aus Teil (3) auf der Menge ${}U$ stetig differenzierbar ist.
5. Berechne die partielle Ableitung von ${}F$ nach ${}x_{1}$ auf ${}U$.
6. Zeige, dass die Menge der nichtentarteten Dreiecke mit Umfang ${}1$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}V$ bildet. Was ist die Dimension?

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