Dreiecksgeometrie/Kosinussatz/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}u={\overrightarrow {CB}}\,$

und

${}v={\overrightarrow {CA}}\,.$

Dann ist

${}w={\overrightarrow {AB}}=u-v\,.$

Die Längen dieser Vektoren sind ${}a,b,c$. Somit gilt

${}{\begin{aligned}c^{2}&=\Vert {u-v}\Vert ^{2}\\&=\left\langle u-v,u-v\right\rangle \\&=\left\langle u,u\right\rangle +\left\langle v,v\right\rangle -2\left\langle u,v\right\rangle \\&=\Vert {u}\Vert ^{2}+\Vert {v}\Vert ^{2}-2\Vert {u}\Vert \cdot \Vert {v}\Vert \cos \gamma \\&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe