Durchschnitt von Untergruppen/Fakt/Beweis

Beweis

Offenbar gehört das neutrale Element zum Durchschnitt. Es seien ${}g,h\in \bigcap _{i\in I}H_{i}$. Dann ist ${}g,h\in H_{i}$ für alle ${}i$ und daher auch ${}g+h\in H_{i}$ für alle ${}i$. Damit gehört ${}g+h$ zum Durchschnitt, d.h. der Durchschnitt ist ein Untermonoid. Es sei nun ${}h$ ein Element im Durchschnitt. Dann ist ${}h\in H_{i}$ für alle ${}i$ und daher auch ${}h^{-1}\in H_{i}$ für alle ${}i$, also ${}h^{-1}\in \bigcap _{i\in I}H_{i}$.

Zur bewiesenen Aussage