E8-Singularität/Komplettierung/Faktoriell/Einzigartigkeit/Bemerkung

Die Komplettierung des Ringes ${}R={\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$ am maximalen Ideal ${}R_{+}$ ist ${}{\hat {R}}={\mathbb {C} }[\![X,Y,Z]\!]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}$. Dieser Ring ist ebenfalls faktoriell (die Komplettierung eines faktoriellen Ringes muss im Allgemeinen nicht faktoriell sein). Es gilt sogar, dass dieser Ring der einzige zweidimensionale komplette Ring (bis auf Isomorphie) über ${}{\mathbb {C} }$ ist, der faktoriell, aber nicht regulär, also nicht der Potenzreihenring ${}{\mathbb {C} }[\![X,Y]\!]$ ist.