Ebene/Parallele Geraden/Äquivalenzklassen/Beispiel

Auf der Menge aller Geraden in der Ebene kann man die Parallelität als Äquivalenzrelation auffassen. Eine Gerade ist zu sich selbst parallel, die Relation ist offenbar symmetrisch und wenn ${}G_{1}$ zu ${}G_{2}$ parallel und ${}G_{2}$ zu ${}G_{3}$ parallel ist, so ist auch ${}G_{1}$ zu ${}G_{3}$ parallel. Die Äquivalenzklasse zu einer Geraden ${}G$ besteht aus allen zu ${}G$ parallelen Geraden, diese bilden eine parallele Geradenschar. Wir fixieren einen Punkt ${}M$ in der Ebene. Dann gibt es zu jeder Geraden ${}G$ eine dazu parallele Gerade ${}G'$, die durch den Punkt ${}M$ verläuft. Man kann also jede Äquivalenzklasse durch eine Gerade durch den Punkt ${}M$ repräsentieren, und zwar eindeutig, da parallele Geraden, die durch einen Punkt verlaufen, übereinstimmen müssen. Die Menge der Geraden durch ${}M$ bildet also ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation der Parallelität.