Ebene/Parallele Geraden/Äquivalenzklassen/Beispiel

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Auf der Menge aller Geraden in der Ebene kann man die Parallelität als Äquivalenzrelation auffassen. Eine Gerade ist zu sich selbst parallel, die Relation ist offenbar symmetrisch und wenn zu parallel und zu parallel ist, so ist auch zu parallel. Die Äquivalenzklasse zu einer Geraden besteht aus allen zu parallelen Geraden, diese bilden eine parallele Geradenschar. Wir fixieren einen Punkt in der Ebene. Dann gibt es zu jeder Geraden eine dazu parallele Gerade , die durch den Punkt verläuft. Man kann also jede Äquivalenzklasse durch eine Gerade durch den Punkt repräsentieren, und zwar eindeutig, da parallele Geraden, die durch einen Punkt verlaufen, übereinstimmen müssen. Die Menge der Geraden durch bildet also ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation der Parallelität.