Ebene/Vektorraum/Anschaulich/Beispiel

Es sei ${}E$ eine „Ebene“ mit einem fixierten „Ursprungspunkt“ ${}Q\in E$. Wir identifizieren einen Punkt ${}P\in E$ mit dem Verbindungsvektor ${}{\overrightarrow {QP}}$. In dieser Situation kann man ein anschauliche koordinatenfreie Vektoraddition und eine koordinatenfreie Skalarmultiplikation einführen. Zwei Vektoren ${}{\overrightarrow {QP}}$ und ${}{\overrightarrow {QR}}$ werden miteinander addiert, indem man das Parallelogramm zu diesen beiden Vektoren konstruiert. Das Ergebnis der Addition ist die Ecke des Parallelogramms, das ${}Q$ gegenüberliegt. Bei der Konstruktion muss man die zu ${}{\overrightarrow {QP}}$ parallele Gerade durch ${}R$ und die zu ${}{\overrightarrow {QR}}$ parallele Gerade durch ${}P$ zeichnen. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist der gesuchte Punkt. Eine entsprechende Vorstellung ist, dass man den Vektor ${}{\overrightarrow {QP}}$ parallel verschiebt und an ${}{\overrightarrow {QR}}$ „anlegt“, d.h. dass man den Startpunkt des einen Pfeiles an den Endpunkt des anderen anheftet.

Für die Multiplikation eines Vektors ${}{\overrightarrow {QP}}$ mit einem Skalar ${}s$ muss dieser als ein Punkt auf einer Geraden ${}G$ gegeben sein, auf der darüber hinaus ein Nullpunkt ${}0\in G$ und eine Eins ${}1\in G$ fixiert sind. Wie diese Gerade in der Ebene liegt, ist zunächst gleichgültig. Man bewegt die Gerade (dabei darf man verschieben und auch drehen) so, dass der Nullpunkt auf ${}Q$ zu liegen kommt und vermeidet, dass die Gerade deckungsgleich zu der von ${}{\overrightarrow {QP}}$ erzeugten Geraden - nennen wir sie ${}H$ - wird. Nun verbindet man ${}1$ und ${}P$ mit einer Geraden ${}L$ und zeichnet dazu die zu ${}L$ parallele Gerade ${}L'$ durch ${}s$. Der Schnittpunkt von ${}L'$ und ${}H$ ist ${}s{\overrightarrow {QP}}$.

Diese Überlegungen kann man auch höherdimensional anstellen, wobei sich allerdings das Wesentliche in der von den beiden beteiligten Vektoren (bzw. Geraden) erzeugten Ebene abspielt.