Ebene Drehung/Eigentheorie/C/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist

${}\det \left(X{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\right)=\det {\begin{pmatrix}X-\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &X-\cos \alpha \end{pmatrix}}={\left(X-\cos \alpha \right)}^{2}+\sin ^{2}\alpha \,.$

Die Eigenwerte sind die Nullstellen davon, also

${}x_{1}=\cos \alpha +{\mathrm {i} }\sin \alpha \,$

und

${}x_{2}=\cos \alpha -{\mathrm {i} }\sin \alpha \,.$

Zur Berechnung der Eigenräume setzen wir die Eigenwerte für ${}X$ in die obige Matrix ein und bestimmen den Kern. Sei dafür zunächst ${}\alpha \notin \{0,\pi \}$.

Für ${}x_{1}$ ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\sin \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &{\mathrm {i} }\sin \alpha \end{pmatrix}},$

der Kern wird vom Vektor

$\left({\mathrm {i} },\,1\right)$

erzeugt. Also ist ${}E_{1}={\mathbb {C} }\left({\mathrm {i} },\,1\right)$.

Für ${}x_{2}$ ergibt sich die Matrix

${\begin{pmatrix}-{\mathrm {i} }\sin \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &-{\mathrm {i} }\sin \alpha \end{pmatrix}},$

der Kern wird vom Vektor

$\left(-{\mathrm {i} },\,1\right)$

erzeugt. Also ist ${}E_{2}={\mathbb {C} }\left(-{\mathrm {i} },\,1\right)$.

Für ${}\alpha \in \{0,\pi \}$ fallen die Eigenwerte zusammen und der einzige Eigenraum ist ${}E={\mathbb {C} }^{2}$.

Zur gelösten Aufgabe