Ebene Drehung/Eigentheorie/C/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist

$det(X\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right))=det\left(\begin{array}{cc}X-\cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & X-\cos \alpha \end{array}\right)={(X-\cos \alpha )}^2+{\sin }^2\alpha .$

Die Eigenwerte sind die Nullstellen davon, also

$x_1=\cos \alpha +\mathrm{i}\sin \alpha$

und

$x_2=\cos \alpha -\mathrm{i}\sin \alpha .$

Zur Berechnung der Eigenräume setzen wir die Eigenwerte für $X$ in die obige Matrix ein und bestimmen den Kern. Sei dafür zunächst $\alpha \notin \{0,\pi \}$.

Für $x_1$ ergibt sich die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}\sin \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \mathrm{i}\sin \alpha \end{array}\right),$

der Kern wird vom Vektor

$(\mathrm{i},1)$

erzeugt. Also ist $E_1=ℂ(\mathrm{i},1)$.

Für $x_2$ ergibt sich die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{i}\sin \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & -\mathrm{i}\sin \alpha \end{array}\right),$

der Kern wird vom Vektor

$(-\mathrm{i},1)$

erzeugt. Also ist $E_2=ℂ(-\mathrm{i},1)$.

Für $\alpha \in \{0,\pi \}$ fallen die Eigenwerte zusammen und der einzige Eigenraum ist $E={ℂ}^2$.

Zur gelösten Aufgabe