Ebene Kurve/-2x^3+3x^2y-y+2/3 \sqrt(1/3)/C/Singularitäten/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}F$ das beschreibende Polynom. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial F}{\partial X}}=-6X^{2}+6XY{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=3X^{2}-1.$

Wir setzen beide Polynome gleich null. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich ${}x^{2}={\frac {1}{3}}$ und daher

$x=\pm {\sqrt {\frac {1}{3}}}.$

In der ersten Gleichung können wir ${}6X$ ausklammern, welches nicht null ist, sodass ${}x=y$ sein muss, also ist ebenfalls ${}y=\pm {\sqrt {\frac {1}{3}}}$. Für ${}x=y$ wird die Kurvengleichung zu

$x^{3}-x+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}.$

Bei ${}x={\sqrt {\frac {1}{3}}}$ ergibt sich der Wert

${\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}-{\sqrt {\frac {1}{3}}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}=0,$

sodass ${}\left({\sqrt {\frac {1}{3}}},\,{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)$ ein Punkt der Kurve ist. Bei ${}x=y=-{\sqrt {\frac {1}{3}}}$ ergibt sich hingegen

$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}+{\sqrt {\frac {1}{3}}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\neq 0,$

sodass dies kein Punkt der Kurve ist. Die einzige Singularität der Kurve ist also ${}\left({\sqrt {\frac {1}{3}}},\,{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)$.

Zur gelösten Aufgabe