Ebene Kurve/Rationale Parametrisierung/t^2+t,t^3/Gleichung/Aufgabe/Lösung

Wir berechnen die ersten Monome in ${}X$ und ${}Y$. Es ist

$X^{0}Y^{0}=1$

$X=(t^{2}+t)$

$Y=t^{3}$

$XY=t^{5}+t^{4}$

$X^{2}=t^{4}+2t^{3}+t^{2}$

$Y^{2}=t^{6}$

$X^{3}=t^{6}+3t^{5}+3t^{4}+t^{3}.$

Wir brauchen eine nicht-triviale Relation dieser Polynome aus ${}K[t]$. Es ist

$X^{3}-Y^{2}-Y=3t^{5}+3t^{4}=3XY.$

Also ist

$X^{3}-Y^{2}-Y-3XY$

eine algebraische Relation für die Bildkurve.

Ein Punkt der affinen Ebene, der nicht auf der Bildkurve liegt, ist beispielsweise ${}(1,0)$, denn es gilt

$1^{3}-0^{2}-0-3\cdot 1\cdot 0=1\neq 0.$

Zur gelösten Aufgabe