Ebene Kurve/v^3+u^2v-2uv+2u^2-4u-2v/Bestimme Singularität/Aufgabe/Lösung

Sei

${}F=V^{3}+U^{2}V-2UV+2U^{2}-4U-2V\,.$

Dann ist

${\frac {\partial F}{\partial U}}=2UV-2V+4U-4{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial V}}=3V^{2}+U^{2}-2U-2.$

Aus der ersten Gleichung erhält man für einen singulären Punkt die Bedingung

$V(U-1)=-2U+2{\text{ bzw. }}V={\frac {-2U+2}{U-1}},$

wobei die letztere Bedingung voraussetzt, dass ${}U\neq 1$ ist. Betrachten wir also zuerst den Fall ${}U=1$. Die erste partielle Ableitung ist dann unabhängig von ${}V$ gleich null und die zweite Ableitung liefert die Bedingung

$3V^{2}+1-2-2=0{\text{ bzw. }}V^{2}=1,{\text{ also }}V=\pm 1.$

Die Kurvengleichung ergibt

${}V^{3}+V-2V-2V-2=V^{3}-3V-2=0\,,$

die von ${}V=-1$ erfüllt wird. Daher ist ${}P=(1,-1)$ ein singulärer Punkt der Kurve.

Unter den neuen Variablen ${}X=U-1$ und ${}Y=V+1$ ist ${}P$ der Nullpunkt. Die Kurvengleichung transformiert sich unter ${}U=X+1$ und ${}V=Y-1$ zu

${}{\begin{aligned}&=(Y-1)^{3}+(X+1)^{2}(Y-1)-2(X+1)(Y-1)+2(X+1)^{2}-4(X+1)-2(Y-1)\\&=Y^{3}-3Y^{2}+3Y-1+(X^{2}+2X+1)(Y-1)-2XY+2X-2Y+2+2X^{2}+4X+2-4X-4-2Y+2\\&=Y^{3}-3Y^{2}+3Y-1+X^{2}Y+2XY+Y-X^{2}-2X-1-2XY+2X-2Y+2+2X^{2}+4X+2-4X-4-2Y+2\\&=Y^{3}+X^{2}Y-3Y^{2}+X^{2}.\end{aligned}}$

Der homogene Bestandteil von kleinstem Grad ist also ${}X^{2}-3Y^{2}=(X-{\sqrt {3}}Y)(X+{\sqrt {3}}Y)$. Daher ist die Multiplizität zwei und die beiden Tangenten durch den singulären Punkt werden durch ${}X=\pm {\sqrt {3}}Y$ beschrieben.

Zur gelösten Aufgabe