Ebene Kurve/y-x^3+x+2/Rationale Parametrisierung/Fortsetzung auf P^1/Aufgabe/Lösung

Ein Isomorphismus wird gegeben durch

$x\longmapsto (x,x^{3}-x-2)=(x,y).$

Auf der Ringebene entpricht dem der Einsetzungshomomorphismus

$K[X,Y]/(Y-X^{3}+X+2)\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto X,\,Y\longmapsto X^{3}-X-2.$

Dieser ist offenbar surjektiv und wohldefiniert. Da man links direkt ${}Y$ eliminieren kann, steht links der Polynomring ${}K[X]$, sodass eine Isomorphie vorliegt.

Man kann einen solchen Isomorphismus nicht zu einem Isomorphismus fortsetzen, da der projektive Abschluss der Kurve nicht isomorph zur projektiven Geraden ist. Dies liegt daran, dass der projektive Abschluss durch ${}V_{+}(YZ^{2}-X^{3}+XZ^{2}+2Z^{3})$ beschrieben wird und genau der unendlich ferne Punkte ${}(0,1,0)$ dazu kommt. Dieser Punkt ist aber in der affinen Umgebung ${}D_{+}(Y)$ der Nullpunkt auf der affinen Kurve ${}V(Z^{2}-X^{3}+XZ^{2}+2Z^{3})$, der die Multiplizität zwei besitzt und daher nicht glatt ist.

Zur gelösten Aufgabe