Ebene algebraische Kurve/Parametrisierung/x ist t^2+t+1, y ist 2t^2+3t-1/Beispiel

Wir betrachten die Kurve, die durch die Parametrisierung

$x=t^{2}+t+1\,\,{\text{ und }}\,\,y=2t^{2}+3t-1$

gegeben ist. Es ist ${}x-1=t^{2}+t$ und ${}y+1=2t^{2}+3t$. Eine einfache Addition ergibt

${}(y+1)-2(x-1)=3t-2t=t\,.$

Daher können wir

${}x-1=t^{2}+t=(y-2x+3)^{2}+(y-2x+3)\,$

schreiben. Ausmultiplizieren ergibt insgesamt die Gleichung

${}y^{2}+4x^{2}-4xy-15x+7y+13=0\,.$