Ebene algebraische Kurve/Potenzreihenansatz/x^2y+x^2+y^2-5xy+y/Nullpunkt/Aufgabe/Lösung

Wir setzen an ${}Y=F(X)={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$ (und ${}X=X$) und berechnen sukzessive die Koeffizienten durch Vergleich der Koeffizienten für ${}X$. Da die Lösung durch den Nullpunkt gehen soll, muss ${}a_{0}=0$ sein.

$X^{1}:a_{1}=0.$

$X^{2}:1+a_{2}=0,{\text{ also }}a_{2}=-1.$

$X^{3}:-5a_{2}+a_{3}=0,{\text{ also }}a_{3}=-5.$

$X^{4}:a_{2}+a_{2}^{2}-5a_{3}+a_{4}=0,{\text{ also }}a_{4}=5a_{3}=-25.$

$X^{5}:a_{3}+2a_{2}a_{3}-5a_{4}+a_{5}=0,{\text{ also }}a_{5}=-a_{3}-2a_{2}a_{3}+5a_{4}=5-10-125=-130.$

Die Anfangsglieder der Potenzreihe sind also

${}F=-X^{2}-5X^{3}-25X^{4}-130X^{5}+\ldots \,.$

Zur gelösten Aufgabe