Ebene algebraische Kurve/Produkt/Einzelne Tangenten sind Tangenten/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  ${}G,H\in K[X,Y]$  Polynome mit  ${}G(P)=H(P)=0$  für einen bestimmten Punkt  ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$.  Es sei  ${}F=GH$.  Zeige, dass jede Tangente von ${}G$ in ${}P$ und jede Tangente von ${}H$ in ${}P$ auch eine Tangente von ${}F$ in ${}P$ ist.

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