Ebene algebraische Kurven/Reell/X^2+Y^2-2 und X^2+2Y^2-1/Durchschnitt und Einheit/Beispiel

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

$V_{1}=V(X^{2}+Y^{2}-2)\,\,{\text{ und }}\,\,V_{2}=(X^{2}+2Y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}.$

Bei ${}K=\mathbb {R}$ sind das beides irreduzible Quadriken. Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal

${}(X^{2}+Y^{2}-2,X^{2}+2Y^{2}-1)=(Y^{2}+1,X^{2}-3)\,.$

Da das Polynom ${}Y^{2}+1$ im Reellen keine Nullstelle hat, ist der Durchschnitt ${}V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ leer. Das Verschwindungsideal des (leeren) Durchschnittes ist natürlich das Einheitsideal, die Summe der beiden Verschwindungsideale ist aber nicht das Einheitsideal.