Ebene algebraische Kurven/Reell/X^2+Y^2-2 und X^2+2Y^2-1/Zusammenhangseigenschaft/Beispiel

Wir betrachten die beiden algebraischen Kurven

$V_{1}=V(X^{2}+Y^{2}-2){\text{ und }}V_{2}=(X^{2}+2Y^{2}-1)\subseteq \mathbb {A} _{K}^{2}.$

Der Durchschnitt wird beschrieben durch das Ideal

${}(X^{2}+Y^{2}-2,X^{2}+2Y^{2}-1)=(Y^{2}+1,X^{2}-3)\,.$

Es sei ${}K=\mathbb {R}$. Dann ist ${}V_{1}\cap V_{2}=\emptyset$ leer.

Die affin-algebraische Menge ${}V=V_{1}\cup V_{2}$ ist nicht zusammenhängend (${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ sind die irreduziblen Komponenten und die Zusammenhangskomponenten). Der Koordinatenring von ${}V$ ist

$\mathbb {R} [X,Y]/((X^{2}+Y^{2}-2)(X^{2}+2Y^{2}-1)).$

Man könnte erwarten, dass die Funktion auf ${}V$, die auf ${}V_{1}$ konstant gleich ${}1$ und auf ${}V_{2}$ konstant gleich ${}0$ ist, sich im Koordinatenring wiederfindet. Dies ist aber nicht der Fall, und zwar liegt das daran, dass über den komplexen Zahlen ${}V_{\mathbb {C} }$ zusammenhängend ist. Daher besitzt der komplexe Koordinatenring nur die trivialen idempotenten Elemente, und das überträgt sich auf den reellen Koordinatenring.