Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  ${}F,G\in K[X,Y]$  Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei  ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$  ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist  ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=0$  genau dann, wenn  ${}P\notin V(F,G)$  ist.
2. Es ist  ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {mult} _{P}(G,F)$. 
3. Die Schnittmultiplizität ändert sich nicht bei einer affinen Variablentransformation.
4. Wenn  ${}F=F_{1}F_{2}$  mit  ${}F_{2}(P)\neq 0$  ist, so ist  ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {mult} _{P}(F_{1},G)$. 
5. Es ist  ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {mult} _{P}(F,G+HF)$  für jedes  ${}H\in K[X,Y]$. 

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