Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Erste Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=0$ genau dann, wenn ${}P\not \in V(F,G)$ ist.
2. Es ist ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {mult} _{P}(G,F)$.
3. Die Schnittmultiplizität ändert sich nicht bei einer affinen Variablentransformation.
4. Wenn ${}F=F_{1}F_{2}$ mit ${}F_{2}(P)\neq 0$ ist, so ist ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {mult} _{P}(F_{1},G)$.
5. Es ist ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {mult} _{P}(F,G+HF)$ für jedes ${}H\in K[X,Y]$.

Einen Beweis erstellen