Ebene algebraische Kurven/Tangentialabbildung und Tangente in einem glatten Punkt als Kern/Bemerkung

Es sei ${}F\in K[X,Y]$ mit zugehöriger ebener algebraischer Kurve ${}C$ und sei ${}P\in C=V(F)$ ein glatter Punkt der Kurve. Zu

$F\colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

und dem Punkt ${}P$ gehört die durch die partiellen Ableitungen definierte lineare Tangentialabbildung (das totale Differential) zwischen den zugehörigen Tangentialräumen, also

$T_{P}F={\left({\frac {\partial F}{\partial X}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\right)}:T_{P}\mathbb {A} _{K}^{2}\cong \mathbb {A} _{K}^{2}\longrightarrow T_{F(P)}\mathbb {A} _{K}^{1}=T_{0}\mathbb {A} _{K}^{1}\cong \mathbb {A} _{K}^{1}{\text{ mit }}(s,t)\longmapsto {\frac {\partial F}{\partial X}}(P)s+{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)t.$

Da ${}P$ ein glatter Punkt ist, ist diese lineare Abbildung nicht die Nullabbildung. Die (Richtung der) Tangente von ${}C$ an ${}P$ ist der Kern dieser Tangentialabbildung (wobei man bei der Identifizierung der Tangentialebene in ${}P$ mit der umgebenden affinen Ebene den Punkt ${}P$ mit dem Nullpunkt identifizieren muss. Die Tangente muss ja durch den Punkt gehen, der Kern gibt nur eine lineare Richtung vor).