Ebene algebraische Kurven/Tangentialabbildung und Tangente in einem glatten Punkt als Kern/Bemerkung

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Sei mit zugehöriger ebener algebraischer Kurve und sei ein glatter Punkt der Kurve. Zu

und dem Punkt gehört die durch die partiellen Ableitungen definierte lineare Tangentialabbildung (das totale Differential) zwischen den zugehörigen Tangentialräumen, also

Da ein glatter Punkt ist, ist diese lineare Abbildung nicht die Nullabbildung. Die (Richtung der) Tangente von an ist der Kern dieser Tangentialabbildung (wobei man bei der Identifizierung der Tangentialebene in mit der umgebenden affinen Ebene den Punkt mit dem Nullpunkt identifizieren muss. Die Tangente muss ja durch den Punkt gehen, der Kern gibt nur eine lineare Richtung vor).