Eine ebene glatte Kurve vom Grad vier hat nach Shioda, , die Standardform
-
![{\displaystyle {}F=x^{3}z+xp(y,z)+q(y,z)=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4c7bb7c9cff4d124e03ea5a34e79526077192e)
Dabei ist
ein homogenes Polynom vom Grad
in den Variablen
und
ein homogenes Polynom vom Grad
in den Variablen
. Dabei ist
,
da sonst die Kurve reduzibel wäre. Daher können wir durch eine Variablentransformation in
annehmen, dass sowohl
als auch
in
und damit in
nichttrivial vorkommen. Somit sind
und
Parameter. Wir schreiben
und
.
Wir multiplizieren die Gleichung mit
und erhalten aus
-
dass
-
ein globaler Schnitt
-
ist. Dieser Schnitt hat eine Nullstelle in einem Punkt
der Kurve genau dann, wenn die Koordinaten des Punktes
und
-
![{\displaystyle {}sx=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d89bd315467a0d07b8375bd526e0c9fb6d06b543)
ist. Bei
-
![{\displaystyle {}x=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1f1f8c71b5cf0c48e32f47cf422b42dfcb7e691)
wäre auch
,
das kann nicht sein. Also ist bei
der Schnitt nullstellenfrei. D.h. wir haben in diesem Fall eine kurze exakte Sequenz aus lokal freien Garben
-
wobei
den Grad
besitzt. Wir tensorieren mit
und erhalten
-
Die Kohomologieklasse
rechts rührt von einer Klasse im Syzygienbündel her. Kommt nicht von links her. Im Frobeniusabschluss?
.
Es sei nun
.
Dann ist
-
ein globaler Schnitt
-
Aus
folgt
-
![{\displaystyle {}y^{3}(\alpha x+\beta y)=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17b9e84efaa655ee6ec11039a2d3c62f5499a3b)
Aus
folgt
,
es liegt also eine Nullstelle in
vor. Zur Bestimmung der Vielfachheit arbeiten wir mit affinen Koordinaten, wir betrachten die affine Kurvengleichung
-
![{\displaystyle {}z+p(y,z)+q(y,z)=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7dec29566106fbe660e631cd8d94ad702510f35)
Daraus folgt, dass
ein lokaler Parameter in
ist und dass
die Ordnung
besitzt. Dann hat
auch die Ordnung
(?)
Wir erhalten eine destabilisierende kurze exakte Sequenz
-
Wir tensorieren mit
, dadurch werden beide Seiten positiv und alles vom Grad
liegt im tight closure. Es ist
-
Daher ist
modulo
, da dies sonst auch im Polynomring gelten würde.