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Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/Bemerkung

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Eine ebene glatte Kurve vom Grad vier hat nach Takahashi, Geometric Properties of Plane Quartics, über die Standardform

oder

Im ersten Fall sind (bei ) und (bei ) Parameter. Wir schreiben die Gleichung als

Dies liefert den globalen Schnitt

Die gemeinsame Nullstellenmenge dieses Schnittes auf der Kurve ist durch gegeben. Bei sind alle Variablen gleich , da gibt es also keine Nullstelle. Bei ist

und damit ist auch

Wenn wir dies ausschließen, so liegt ein nullstellenfreier Schnitt vor, das Syzygienbündel ist stark semistabil und alles vom Grad gehört zum tight closure. Das Element gehört aber nicht zum Ideal, da es in der Kurvengleichung nicht vorkommt.

Im Fall haben wir im Punkt

eine gemeinsame Nullstelle. Diese ist einfach, da bei die Zerlegung zeigt, dass im Punkt einfach verschwindet. Wir erhalten eine kurze exakte Sequenz

die zeigt, dass das Syzygienbündel nicht semistabil ist. Wir twisten mit . Dann bekommt das Geradenbündel rechts den Grad und somit ist alles vom Grad im tight closure des Ideals. Das Element gehört aber nicht zum Ideal, da im Polynomring gilt und somit eine Gleichung modulo , die im Polynomring eine homogene Gleichung

bedeutet, schon im Polynomring selbst gelten müsste.


Im zweiten Fall sind Parameter und bei auch Parameter. Wir multiplizieren die Gleichung mit und schreiben das Ergebnis als

Dies liefert einen globalen Schnitt

Die gemeinsame Nullstellenmenge ist , das ist also der Punkt . Die Kurvengleichung wird bei zu

Dann haben wir

und das Syzygienbündel ist stark semistabil. Jedenfalls ist alles vom Grad im tight closure. Das Element gehört nicht zu diesem Ideal.