Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/Bemerkung

Eine ebene glatte Kurve vom Grad vier hat nach Takahashi, Geometric Properties of Plane Quartics, über ${}{\mathbb {C} }$ die Standardform

${}x^{3}z+(y^{3}+pyz^{2}+qz^{3})x+ry^{4}+sy^{3}z+ty^{2}z^{2}+uyz^{3}+vz^{4}=0\,$

oder

${}x^{3}z+(py^{2}+qyz+rz^{2})xz+y^{4}+sy^{2}z^{2}+tyz^{3}+uz^{4}=0\,.$

Im ersten Fall sind ${}(x,z)$ (bei ${}r\neq 0$) und ${}(x,y)$ (bei ${}v\neq 0$) Parameter. Wir schreiben die Gleichung als

$x^{3}z+y^{3}{\left(x+ry+sz\right)}+z^{2}{\left(pxy+qxz+ty^{2}+uyz+vz^{2}\right)}.$

Dies liefert den globalen Schnitt ${}(z,x+ry+sz,pxy+qxz+ty^{2}+uyz+vz^{2})$

${\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},y^{3},z^{2}\right)}(4)\subseteq {\mathcal {O}}_{Y}(1)\oplus {\mathcal {O}}_{Y}(1)\oplus {\mathcal {O}}_{Y}(2).$

Die gemeinsame Nullstellenmenge dieses Schnittes auf der Kurve ist durch ${}(z,x+ry,pxy+ty^{2})$ gegeben. Bei ${}y=0$ sind alle Variablen gleich ${}0$, da gibt es also keine Nullstelle. Bei ${}y\neq 0$ ist

${}px+ty=0=x+ry\,$

und damit ist auch

${}t=rp\,.$

Wenn wir dies ausschließen, so liegt ein nullstellenfreier Schnitt vor, das Syzygienbündel ist stark semistabil und alles vom Grad ${}4$ gehört zum tight closure. Das Element ${}xy^{2}z$ gehört aber nicht zum Ideal, da es in der Kurvengleichung nicht vorkommt.

Im Fall ${}t=rp$ haben wir im Punkt

${}P=(-r,1,0)\,$

eine gemeinsame Nullstelle. Diese ist einfach, da bei ${}z=0$ die Zerlegung ${}y^{3}x+ry^{4}=y^{3}(x+ry)$ zeigt, dass ${}x+ry$ im Punkt einfach verschwindet. Wir erhalten eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}(P)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},y^{3},z^{2}\right)}(4)\longrightarrow {\mathcal {O}}(-P)\longrightarrow 0,$

die zeigt, dass das Syzygienbündel nicht semistabil ist. Wir twisten mit ${}{\mathcal {O}}(1)$. Dann bekommt das Geradenbündel rechts den Grad ${}3$ und somit ist alles vom Grad ${}5$ im tight closure des Ideals. Das Element ${}x^{2}y^{2}z$ gehört aber nicht zum Ideal, da im Polynomring ${}F\in (x^{3},y^{3},z^{2})$ gilt und somit eine Gleichung ${}x^{2}y^{2}z=Ax^{3}+By^{3}+Cz^{2}$ modulo ${}F$, die im Polynomring eine homogene Gleichung

${}x^{2}y^{2}z=Ax^{3}+Bx^{3}+Cz^{2}+DF\,$

bedeutet, schon im Polynomring selbst gelten müsste.

Im zweiten Fall sind ${}(x,z)$ Parameter und bei ${}u\neq 0$ auch ${}(x,y)$ Parameter. Wir multiplizieren die Gleichung mit ${}z$ und schreiben das Ergebnis als

$x^{3}z^{2}+z^{3}{\left(uz^{2}+qxy+sy^{2}+rxz+tyz\right)}+y^{2}{\left(zy^{2}+pxz^{2}\right)}.$

Dies liefert einen globalen Schnitt

${\mathcal {O}}_{Y}\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},y^{2}\right)}(5).$

Die gemeinsame Nullstellenmenge ist ${}(z,y(qx+sy),0)$, das ist also der Punkt ${}P=(1,0,0)$. Die Kurvengleichung wird bei ${}z=0$ zu

${}y^{4}=0\,.$

Dann haben wir

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}(4P)\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(x^{3},z^{3},z^{2}\right)}(5)\longrightarrow {\mathcal {M}}\longrightarrow 0,$

und das Syzygienbündel ist stark semistabil. Jedenfalls ist alles vom Grad ${}4$ im tight closure. Das Element ${}x^{2}yz$ gehört nicht zu diesem Ideal.