Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Wir gehen vom Monoidhomomorphismus ${}\varphi \colon \mathbb {N} ^{2}\rightarrow \mathbb {N}$ mit ${}\varphi (e_{1})=b$ und ${}\varphi (e_{2})=a$ aus. Das Bild ist das von ${}a$ und ${}b$ erzeugte Untermonoid ${}M$ von ${}\mathbb {N}$. Unter dieser Abbildung werden ${}ae_{1}$ und ${}be_{2}$ auf das gleiche Element ${}ab$ abgebildet. Wenn unter ${}\varphi$ die beiden Paare ${}(r,s)$ und ${}(u,v)$ auf das gleiche Element abgebildet werden, so gilt ${}rb+sa=ub+va$ und somit ${}(r-u)b=(v-s)a$, wobei wir annehmen dürfen, dass die beiden Differenzen nichtnegativ sind. Wegen der Teilerfremdheit muss ${}r-u=\ell a$ ein Vielfaches von ${}a$ und entsprechend ${}v-s=\ell b$ sein. Doch dann ist

${}(r,s)=(u+\ell a,v-\ell b)=(u,v)+\ell (a,-b)\,$

bzw.

${}(r,s)+\ell (0,b)=(u,v)+\ell (a,0)\,.$

Das bedeutet, dass die Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {N} ^{2}$, die zu ${}\varphi$ gehört, allein durch die eine Bedingung ${}a(1,0)\sim b(0,1)$ erzwungen wird. Es ist also

${}\mathbb {N} ^{2}/ae_{1}\sim be_{2}\cong M\,.$

Das zugehörige binomiale Ideal ist ${}{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}$ und nach Fakt ist

${}K[X,Y]/{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\cong K[M]\,.$

Zur bewiesenen Aussage