Ebene monomiale Kurven/Multiplizität ist kleinerer Exponent/Fakt

Es sei ${}t\rightarrow (t^{e_{1}},t^{e_{2}})=(x,y)$ eine ebene monomiale Kurve (mit ${}e_{1},e_{2}$ teilerfremd) mit Bildkurve ${}C=V(X^{e_{2}}-Y^{e_{1}})$.

Dann ist die Multiplizität im Nullpunkt gleich ${}\min(e_{1},e_{2})$.

Genau dann ist der Nullpunkt singulär, wenn ${}\min(e_{1},e_{2})\geq 2$ ist.

Die einzige Tangente im Nullpunkt erhält man, wenn man die Variable mit dem kleineren Exponenten gleich null setzt. In allen anderen Punkten ist ${}C$ glatt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen