Ebene monomiale Kurven/Multiplizität ist kleinerer Exponent/Fakt

Es sei $t\to (t^{e_1},t^{e_2})=(x,y)$ eine ebene monomiale Kurve (mit $e_1,e_2$ teilerfremd) mit Bildkurve  $C=V(X^{e_2}-Y^{e_1})$. 

Dann ist die Multiplizität im Nullpunkt gleich $min(e_1,e_2)$.

Genau dann ist der Nullpunkt singulär, wenn  $min(e_1,e_2)\ge 2$  ist.

Die einzige Tangente im Nullpunkt erhält man, wenn man die Variable mit dem kleineren Exponenten gleich null setzt. In allen anderen Punkten ist $C$ glatt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen