Ebene monomiale Kurven/Rechtsäquivalenz/Rationale Durchführung/Beispiel

Wir betrachten das Polynom  $f=X^3-Y^2$  und das zugehörige Nullstellengebilde  $V(f)\subseteq {𝔸}_K^2$,  also die zugehörige ebenen monomiale Kurve. Wir betrachten die polynomiale Abbildung

$\phi :{𝔸}_K^2⟶{𝔸}_K^2,(x,z)⟼(x,xz)=(x,y),$

die einen Isomorphismus

$V_1=D(X)⟶V_2=D(X)$

induziert, die Umkehrabbildung ist durch

$z=\frac{y}{x}$

gegeben. Dabei ist

$f\circ \phi =X^3-X^2{Z}^2=X^2(X-Z^2).$

Somit liefert $\phi ,$ eingeschränkt auf $V_1$ bzw. $V_2$, einen Isomorphismus, der die monomiale Kurve ohne die Singularität in die Parabel $V(X-Z^2)$ ohne den Nullpunkt überführt.