Ebene monomiale Kurven/Rechtsäquivalenz/Rationale Durchführung/Beispiel

Wir betrachten das Polynom ${}f=X^{3}-Y^{2}$ und das zugehörige Nullstellengebilde ${}V(f)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}$, also die zugehörige ebenen monomiale Kurve. Wir betrachten die polynomiale Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,z)\longmapsto (x,xz)=(x,y),$

die einen Isomorphismus

$V_{1}=D(X)\longrightarrow V_{2}=D(X)$

induziert, die Umkehrabbildung ist durch

${}z={\frac {y}{x}}\,$

gegeben. Dabei ist

${}f\circ \varphi =X^{3}-X^{2}Z^{2}=X^{2}{\left(X-Z^{2}\right)}\,.$

Somit liefert ${}\varphi ,$ eingeschränkt auf ${}V_{1}$ bzw. ${}V_{2}$ einen Isomorphismus, der die monomialen Kurve ohne die Singularität in die Parabel ${}V{\left(X-Z^{2}\right)}$ ohne den Nullpunkt überführt.