Ebene projektive Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Überdeckung mit zwei affinen Kurven/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P\in {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ ein Punkt, der nicht auf ${}C$ liegt. Einen solchen Punkt gibt es, da ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist. Es seien ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ zwei verschiedene projektive Geraden durch ${}P$. Die (offenen) Komplemente, also ${}U_{1}={\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus L_{1}$ und ${}U_{2}={\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus L_{2}$ sind isomorph zu affinen Ebenen. Daher sind sowohl ${}C_{1}=C\cap U_{1}$ als auch ${}C_{2}=C\cap U_{2}$ affine ebene Kurven, die beide in ${}C$ offen sind. Da ${}P$ der einzige Schnittpunkt der beiden Geraden ist, gilt ${}U_{1}\cup U_{2}={\mathbb {P} }_{K}^{2}\setminus \{P\}$. Daher ist ${}C\subseteq U_{1}\cup U_{2}$ und somit

${}C=C_{1}\cup C_{2}$.

Zur gelösten Aufgabe