Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Kompakte riemannsche Fläche/1/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Fakt, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von

${}F=X^{4}+Y^{4}+X^{2}Y^{2}+XZ^{3}\,$

auf keinem Punkt von ${}V_{+}(F)$ simultan verschwinden. Die partiellen Ableitungen sind

${}{\frac {\partial F}{\partial X}}=4X^{3}+2XY^{2}+Z^{3}\,,$

${}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=4Y^{3}+2X^{2}Y^{2}\,,$

${}{\frac {\partial F}{\partial Z}}=3XZ^{2}\,.$

Es sei ${}(x,y,z)\in V_{+}(F)$ ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen ${}0$ sind. Dann ist nach der letzten Ableitung ${}x=0$ oder ${}z=0$. Aus ${}x=0$ folgt aus der ersten und der zweiten partiellen Ableitung sofort ${}y=z=0$, was aber kein projektiver Punkt ist. Also ist

${}z=0\,.$

Die Bedingungen werden dann zu

${}0=4x^{3}+2xy^{2}=x(4x^{2}+2y^{2})\,$

und

${}0=4y^{3}+2x^{2}y=y(4y^{2}+2x^{2})\,.$

Wir wissen bereits ${}x\neq 0$. Aus ${}y=0$ folgt ebenfalls aus der ersten Bedingung direkt ${}x=0$. Also werden die Bedingungen zu

${}4x^{2}+2y^{2}=0=2x^{2}+4y^{2}\,.$

Aus

${}4x^{2}+2y^{2}-2(2x^{2}+4y^{2})=-6y^{2}=0\,$

folgt dann aber wieder ${}y=0$,

was wir schon ausgeschlossen haben.

Zur gelösten Aufgabe