Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Kompakte riemannsche Fläche/2/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden Fakt, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von

${}F=X^{5}+XY^{4}+XYZ^{3}+YZ^{4}\,$

auf keinem Punkt von ${}V_{+}(F)$ simultan verschwinden. Die partiellen Ableitungen sind

${}{\frac {\partial F}{\partial X}}=5X^{4}+Y^{4}+YZ^{3}\,,$

${}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=4XY^{3}+XZ^{3}+Z^{4}\,,$

${}{\frac {\partial F}{\partial Z}}=3XYZ^{2}+4YZ^{3}\,.$

Es sei ${}(x,y,z)\in V_{+}(F)$ ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen ${}0$ sind. Dann ist nach der letzten Ableitung

${}0=3xyz^{2}+4yz^{3}=yz^{2}{\left(3x+4z\right)}\,.$

Bei ${}y=0$ folgt aus der ersten Bedingung ${}x=0$ und daraus aus der zweiten Bedingung auch ${}z=0$, was kein projektiver Punkt ist. Bei ${}z=0$ folgt aus der zweiten Bedingung ${}xy=0$, woraus aus der ersten Bedingung ${}x=y=0$ folgt, was schon ausgeschlossen ist. Also verbleibt noch die Möglichkeit

${}z=-{\frac {3}{4}}x\,.$

Wegen der Homogenität müssen wir nur noch Punkte der Form ${}\left(4,\,y,\,-3\right)$ betrachten. Die erste Ableitung führt auf

${}y^{4}-27y+1280=0\,$

und die zweite auf

${}16y^{3}-27=0\,.$

Diese letzte Bedingung nach ${}y^{3}$ aufgelöst und in die erste eingesetzt führt auf

${}y{\left({\frac {27}{16}}-27\right)}+1280=0\,,$

also

${}y{\frac {-405}{16}}=-1280\,$

bzw.

${}y={\frac {1280\cdot 16}{405}}\,.$

Die dritte Potenz davon ist aber sicher nicht gleich ${}{\frac {27}{16}}$. Es gibt also keinen Punkt ${}\neq (0,0,0)$, wo alle Ableitungen verschwinden.

Zur gelösten Aufgabe