Ebene projektive Kurve/Kleiner Grad/Kohomologie der Strukturgarbe/Explizite Berechnung/Bemerkung

Für eine ebene projektive Kurve vom Grad ${}d$ lässt sich die Kohomologiegruppe zur Strukturgarbe explizit angeben. Wenn

${}C=V_{+}(F)\,$

und ${}F$ die Form ${}Z^{n}+{\text{andere Terme}}$ besitzt, so ist

${}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})=\operatorname {Kokern} \left(((K[X,Y,Z]/(F))_{X})_{0}\oplus ((K[X,Y,Z]/(F))_{Y})_{0}\longrightarrow ((K[X,Y,Z]/(F))_{XY})_{0}\right)\,.$

Dabei ist

${}R=K[X,Y,Z]/(F)\,$

der homogene Koordinatenring der Kurve, wobei die Nenneraufnahme an ${}X$ (bzw. ${}Y$ bzw. ${}XY$) gemacht wird und davon die nullte homogene Komponente genommen wird. Bei ${}F$ vom Grad ${}3$ ist die Kohomologie gleich ${}K{\frac {Z^{2}}{XY}}$. Die Kohomologieklasse ${}{\frac {Z^{2}}{XY}}$ lässt sich nicht als Summe von Elementen aus ${}(R_{X})_{0}$ und ${}(R_{Y})_{0}$ ausdrücken. Dagegen ist beispielsweise in der Kohomologiegruppe unter Verwendung der Kurvengleichung

${}Z^{3}=XG+YH\,$

mit ${}G,H\in K[X,Y,Z]$ vom Grad ${}2$

${}{\frac {Z^{3}}{X^{2}Y}}={\frac {XG+YH}{X^{2}Y}}={\frac {XG}{X^{2}Y}}+{\frac {YH}{X^{2}Y}}={\frac {G}{XY}}+{\frac {H}{X^{2}}}={\frac {aZ^{2}+bX^{2}+cY^{2}+dXY+eXZ+fYZ}{XY}}={\frac {aZ^{2}}{XY}}\,,$

d.h. ${}{\frac {Z^{3}}{X^{2}Y}}$ ist ein Vielfaches von ${}{\frac {Z^{2}}{XY}}$.

Bei ${}F$ vom Grad ${}4$ wird die Kohomologie durch die Basiselemente ${}{\frac {Z^{2}}{XY}},{\frac {Z^{3}}{X^{2}Y}},{\frac {Z^{3}}{XY^{2}}}$ erzeugt.