Ebene projektive Kurve/Kleiner Grad/Kohomologie der Strukturgarbe/Explizite Berechnung/Bemerkung

Für eine ebene projektive Kurve vom Grad $d$ lässt sich die Kohomologiegruppe zur Strukturgarbe explizit angeben. Wenn

C = V_{+} (F)

und $F$ die Form $Z^{n} + andere Terme$ besitzt, so ist

H^{1} (C, 𝒪_{C}) = Kokern (((K [X, Y, Z] / (F))_{X})_{0} \oplus ((K [X, Y, Z] / (F))_{Y})_{0} ⟶ ((K [X, Y, Z] / (F))_{X Y})_{0}) .

Dabei ist

R = K [X, Y, Z] / (F)

der homogene Koordinatenring der Kurve, wobei die Nenneraufnahme an $X$ (bzw. $Y$ bzw. $X Y$ ) gemacht wird und davon die nullte homogene Komponente genommen wird. Bei $F$ vom Grad $3$ ist die Kohomologie gleich $K \frac{Z^{2}}{X Y}$ . Die Kohomologieklasse $\frac{Z^{2}}{X Y}$ lässt sich nicht als Summe von Elementen aus $(R_{X})_{0}$ und $(R_{Y})_{0}$ ausdrücken. Dagegen ist beispielsweise in der Kohomologiegruppe unter Verwendung der Kurvengleichung

Z^{3} = X G + Y H

mit $G, H \in K [X, Y, Z]$ vom Grad $2$

\frac{Z^{3}}{X^{2} Y} = \frac{X G + Y H}{X^{2} Y} = \frac{X G}{X^{2} Y} + \frac{Y H}{X^{2} Y} = \frac{G}{X Y} + \frac{H}{X^{2}} = \frac{a Z^{2} + b X^{2} + c Y^{2} + d X Y + e X Z + f Y Z}{X Y} = \frac{a Z^{2}}{X Y},

d.h. $\frac{Z^{3}}{X^{2} Y}$ ist ein Vielfaches von $\frac{Z^{2}}{X Y}$ .

Bei $F$ vom Grad $4$ wird die Kohomologie durch die Basiselemente $\frac{Z^{2}}{X Y}, \frac{Z^{3}}{X^{2} Y}, \frac{Z^{3}}{X Y^{2}}$ erzeugt.