Eimer/Regen/Höhenstand/Aufgabe/Lösung

Wir denken uns den Eimer als Ausschnitt aus einem Kegel mit runder Grundseite. Wenn der Eimer bis zur Höhe ${}h$ gefüllt ist, so ist das Wasservolumen darin nach Fakt gleich

${}{\frac {1}{3}}(120+h)\cdot \pi {\left(10+{\frac {h}{12}}\right)}^{2}-{\frac {1}{3}}\cdot 120\cdot \pi \cdot 10^{2}={\frac {1}{3}}\pi {\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}\,.$

Die Wasserzufuhr in den Eimer hängt vom oberen Querschritt ab. Bei einer Regenmenge von ${}5$ cm ist dies

${}5\cdot {\left({\frac {25}{2}}\right)}^{2}\cdot \pi ={\frac {3125}{4}}\pi \,.$

Dies führt zur Bedingung

${}{\frac {1}{3}}{\left({\frac {1}{144}}(120+h)^{3}-12000\right)}={\frac {3125}{4}}\,$

bzw.

${}{\left({\frac {1}{36}}(120+h)^{3}-4\cdot 12000\right)}=3\cdot 3125\,$

bzw.

${}(120+h)^{3}=3\cdot 36\cdot 3125+4\cdot 36\cdot 12000=337500+1728000=2065500\,.$

Also ist

${}h={\sqrt[{3}]{2065500}}-120\cong 7,35\,.$

Zur gelösten Aufgabe