Ein Funktionssymbol/Bijektiv/Permutation/Zykel/Beispiel

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Das Symbolalphabet bestehe (neben Variablen) aus einem einstelligen Funktionssymbol . Die Ausdrucksmenge bestehe aus einem Satz, der inhaltlich besagt, dass eine erfüllende Menge genau Elemente besitzen muss, und einen Satz, der besagt, dass die Funktion bijektiv ist. Ein Modell für ist also eine -elementige Menge zusammen mit einer fixierten Permutation

auf dieser Menge. Eine Teilmenge der Form

mit und mit für alle , , nennt man Zykel zu der Länge . Die Menge ist die disjunkte Vereinigung von Zykeln unterschiedlicher Länge. Zwei Elemente sind genau dann elementar äquivalent, wenn sie beide in einem gleichlangen (aber nicht unbedingt im gleichen) Zykel liegen: Einerseits lässt sich die Zykellänge erststufig formalisieren, etwa durch

wobei die Potenzen ausgeschrieben werden müssen. Andererseits kann man einfach Automorphismen angeben, indem man aus jedem Zykel ein Element auswählt und dieses auf ein beliebiges Element eines Zykels gleicher Länge schickt, wobei jeder Zykel genau einmal getroffen wird. Durch

erhält man einen wohldefinierten Automorphismus. Insbesondere kann man einen Automorphismus konstruieren, der auf abbildet. Wenn man auf (elementar äquivalent zu ) abbilden möchte, so ist dadurch schon bestimmt, wohin man die Elemente aus dem Zyklel zu abbilden muss. Es muss nämlich , , u.s.w. gelten.