Eingebettete Mannigfaltigkeit/Inverse Karte/Zweites Tangentialbündel/Partielle Ableitungen/Aufgabe

Es sei ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit und ${}\varphi \colon V\rightarrow U\subseteq Y$ eine ${}C^{2}$-diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Teilmenge ${}U\subseteq Y$ durch eine offene Teilmenge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{d}$, wobei wir ${}\varphi$ auch als Abbildung nach ${}\mathbb {R} ^{n}$ auffassen. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}&TV&{\stackrel {T(\partial _{j})}{\longrightarrow }}&TTV&\\\!\!\!\!\!\,\,\,\varphi \downarrow &&\!\!\!\!\!T(\varphi )\downarrow &&\downarrow TT(\varphi )\!\!\!\!\!&&\\U&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&TU&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&TTU&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt. Wie kann man die Abbildungen in den Diagonalen beschreiben?

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