Einheit/Z mod 5 und Z mod 12/Beispiel

Wir betrachten den Ring $\mathbb{Z}/(5)$. Die Elemente $1$ und $4=-1$ sind wie in jedem Ring Einheiten. Wegen

$2\cdot 3=6=1$

sind $2$ und $3$ invers zueinander und insbesondere Einheiten. Die Einheitengruppe ist also  $\{1,2,3,4\}=\mathbb{Z}/(5)\setminus \{0\}$. 

Bei $\mathbb{Z}/(12)$ sind wieder $1$ und $11=-1$ Einheiten. Ferner sind wegen

$5\cdot 5=25=1$

und

$7\cdot 7=49=1$

auch $5$ und $7$ Einheiten. Die anderen acht Zahlen sind keine Einheiten.