Einheit/Z mod 5 und Z mod 12/Beispiel

Wir betrachten den Ring ${}\mathbb {Z} /(5)$. Die Elemente ${}1$ und ${}4=-1$ sind wie in jedem Ring Einheiten. Wegen

${}2\cdot 3=6=1\,$

sind ${}2$ und ${}3$ invers zueinander und insbesondere Einheiten. Die Einheitengruppe ist also ${}\{1,2,3,4\}=\mathbb {Z} /(5)\setminus \{0\}$.

Bei ${}\mathbb {Z} /(12)$ sind wieder ${}1$ und ${}11=-1$ Einheiten. Ferner sind wegen

${}5\cdot 5=25=1\,$

und

${}7\cdot 7=49=1\,$

auch ${}5$ und ${}7$ Einheiten. Die anderen acht Zahlen sind keine Einheiten.