Einheitskreis/Kreislänge/Halbierung/Programm/Aufgabe

Wir betrachten den Einheitskreis, also

$\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mid x^2+y^2=1\}\subseteq {ℝ}^2.$

Wir setzen  $P_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$  und  $P_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$  und definieren rekursiv die Folge $P_n$ (in der Ebene) durch

$Q_n=\frac{1}{2}(P_0+P_{n-1})$

(d.h. $Q_n$ ist der Halbierungspunkt der Strecke zwischen $P_0$ und $P_{n-1}$) und $P_n$ ist der Durchstoßungspunkt der Halbgeraden durch $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ und $Q_n$ mit dem Kreisbogen. Wir betrachten die Längen  $d_n=d(P_0,P_n)$  als eine Approximation der Länge des Kreisbogens zwischen $P_0$ und $P_n$ und somit

$x_n=2^n{d}_n$

als eine Approximation der Länge des halben Kreisbogens (also von $\pi$). Da in der Berechnung der Punkte $P_n$ und der Längen $d_n$ Quadratwurzeln (Satz des Pythagoras) auftreten, können diese nur mit einem bestimmten Fehler durch rationale Zahlen approximiert werden.

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das eine Folge $y_n$ von Approximationen ($n\ge 1$) für $x_n$ berechnet und ausdruckt. Bei der Berechnung von $y_n$ sollen alle Quadratwurzeln, die in die Berechnung von $x_n$ irgendwo eingehen, mit $n$ Schritten mit dem Heronverfahren zum Startwert $1$ berechnet werden. Das Programm soll also zunehmend bessere Approximationen für die vorhergehenden Hilfspunkte verwenden, die Berechnung von $y_n$ erfordert, dass man stets neue, bessere Approximationen für $P_2,\dots ,P_n$ bestimmt.

• Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können.
• Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit (diese müssen also nicht erzeugt werden).
• Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.
• Er kann die rationalen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl $\ne 0$) ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben.
• Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.
• Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.

Das Programm soll unendlich laufen und die Approximationen $y_1,y_2,y_3,\mathrm{...}$ ausgeben.

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